Guanyar el premi gros de Nadal és com trobar un gra concret d'arròs en trenta plats de paella

Quina és la probabilitat de guanyar alguna cosa (inclòs el reintegrament) en jugar un dècim de la loteria de Nadal? Se sol dir que esta probabilitat és d'un 15 %: els bots de consulta expliquen que esta xifra ve de fer la divisió entre el nombre de premis, 15 304, i els cent mil números possibles (del 00000 al 99999).

El primer que em ve a la ment en estes ocasions són pel·lícules del vell oest on apareixen escenes de vaquers, nadius americans i cavalls. A vegades, hi ha cavalls sense genet i, a vegades, hi ha cavalls amb dos genets. Perquè amb els números de la loteria passa el mateix: si assumim que els cavalls són els números i que els premis són els genets, visualitzarem que un mateix número pot implicar més d'un premi.

Per exemple, en el Sorteig Extraordinari de Nadal de 2024, el número 71340 va ser premiat amb la pedrea (va eixir en un dels filferros de la taula 8) i també va ser premiat per coincidir amb els dos números de la terminació del tercer premi –el 11840–. A més, es va emportar el reintegrament per coincidir amb la terminació del gros –el 72480–. Si estiguérem parlant del número 72 440, també hauria guanyat el premi per coincidir amb les centenes del gros (números del 72 400 al 72 499, excloent el primer premi).

Cavalls i genets

Com hi ha números amb més d'un premi, la quantitat de números susceptibles de ser agraciats amb premi (o siga cavalls que portaran genets) és menor que el nombre de premis (nombre de genets). Per tant, per a calcular la probabilitat que ens toque alguna cosa en el sorteig de Nadal no podem simplement dividir el nombre de premis entre els 100 000 números.

Un càlcul més aproximat a la probabilitat de guanyar alguna cosa en jugar un dècim consistix a eliminar dels possibles premis aquells números que segur que obtenen, almenys, dos premis. És a dir, hi ha cavalls amb dos genets que són fàcilment identificables fins i tot abans de començar el sorteig. Estos números són els que apareixen en el programa de premis sota l'epígraf: “999 premis d'1 000 euros cada un per als bitllets que les seues dos últimes xifres siguen iguals i estiguen igualment disposades que les del qual obtinga el premi primer”.

La probabilitat és menor del 15%

En el sorteig de Nadal de l'any 2024, els 999 números agraciats amb este premi van ser els números del tipus XXX80: el 00080, el 00180, fins al 99 980. D'este conjunt s'exclou el propi gros, el 72 480. Estos 999 números van guanyar, a més, el reintegrament per coincidir amb l'última xifra (el 0, en este exemple). Tots eixos cavalls (números) porten almenys dos genets (premis).

Per tant, podem afirmar que els números premiats amb alguna cosa (incloent el reintegrament) seran com a molt 15 304 menys 999, és a dir 14 305. D'esta manera, una mesura més aproximada de la probabilitat de guanyar alguna cosa en el sorteig del gros és, com a molt, un 14,3 % (com ja afirmava el catedràtic José Manuel López, arredonint al 14 %).

Un gra d'arròs en trenta plats de paella

Les IA de consulta encerten en predir la probabilitat de guanyar el gros, perquè és un únic número entre 100 000 possibles, amb la qual cosa la probabilitat és de 0,00001 o, donat en percentatge, d'un 0,001 %. A més, una IA pot proporcionar una bona analogia per a visualitzar este número. Entre les quals se solen utilitzar en la literatura, tinc preferència per la proposta fa anys pel matemàtic i divulgador José Luis Muñoz, qui usava grans d'arròs. Clar, com a valencià que soc, convertiré eixa analogia en plats de paella.

Per a fer-se una idea del xicotets que són els grans d'arròs típics per a fer paella, compte 100 grans i col·loque'ls en una cullera sopera. Veurà que queda molt espai disponible. Fem una estimació del que pesen cent mil grans d'arròs. En els articles científics sobre la agronomia de l'arròs, se sol usar com a mesura de pes una unitat anomenada PMG (pes de mil grans ).

Per al nostre propòsit, considerarem un tipus d'arròs lleuger amb un PMG de 25 g, és a dir mil grans d'arròs pesen 25 grams. Per tant, cent mil grans pesen 2,5 kg. Segons fonts pròximes (la meua parella), la ració típica d'una paella valenciana és d'uns 80 g per persona. És a dir, amb 100 000 grans d'arròs (2,5 kg) tenim per a unes 31,25 racions de paella, que podem aproximar com 30 a l'efecte de tindre un nombre rodó. Així, podem dir que guanyar el gros de Nadal és com endevinar on es troba un gra particular d'arròs amagat entre 30 plats de paella.

Francisco Pedroche Sánchez, Professor Titular de Matemàtica Aplicada (Àlgebra, Càlcul, Estadística, Ciència de Dades). Institut de Matemàtica Multidisciplinària, Universitat Politècnica de València

Este article va ser publicat originalment en The Conversation. Llija el original.