Com pot existir una cosa infinita?

Este article forma part de la secció The Conversation Júnior, en la qual especialistes de les principals universitats i centres d'investigació contesten als dubtes de jóvens curiosos d'entre 12 i 16 anys. Podeu enviar les vostres preguntes a tcesjunior@theconversation.com

Pregunta formulada per Javier, de 14 anys, de l'IES Giner de los Ríos (Motril, Granada)

La idea de infinit ronda pels nostres caps des que som molt xicotets. Una cosa a la qual potser haja contribuït el nostre gran amic Buzz Lightyear amb la seua famosa frase “Fins a l'infinit… i més enllà”. És normal associar-ho a una cosa misteriosa, difícil o fins i tot impossible d'entendre. Per això la pregunta “Com pot existir una cosa infinita?” és, probablement, una de les més interessants i controvertides que se li pot fer a un matemàtic.

Per a començar a respondre-la, primer cal saber què significa exactament infinit. En matemàtiques, no representa un número ni alguna cosa que està molt lluny. No. És un concepte que associem al que podem fer tan gran com vulguem o al que mai s'acaba.

Sempre hi ha un número major

Pensem en els nombres naturals, els que usem per a comptar. Quin és el més gran que coneixes? Realment esta sí que és una pregunta absurda. Quan imagines qualsevol número, li sumes 1, i ja tens un altre major. És a dir, podem pensar en números tan grans com vulguem: no existix l'últim número.

Però cura. L'infinit no és un número desorbitadament gran. Si anem a la platja i agafem un grapat d'arena, en realitat tindrem una certa quantitat (enorme) de grans d'arena. Un milió? Un bilió? Per molt gran que siga, serà una quantitat concreta. Si al meu grapat d'arena li agregue 10 grans –i encara que el resultat continue sent un grapat d'arena–, hi haurà 10 grans més que abans. Com déiem amb el número més gran, sempre podrem posar un gra més per a augmentar la suma.

En matemàtiques diem que els nombres naturals són infinits en el sentit que sempre podem trobar un número major que qualsevol que ens puguem imaginar. Però no existix un número com a tal que siga infinit.

Rectes sense principi ni fi

Vegem un exemple més geomètric: la recta, una línia que mai canvia de direcció i que s'estén indefinidament. Però si volem dibuixar una, haurem de començar en un punt concret del paper i acabar en un altre. En realitat, el que plasmem és un segment tan llarg com necessitem. No obstant això, la recta seguix abans i després més enllà del nostre paper. A vegades, fem patent esta idea posant una punta de fletxa en l'extrem.

Amb l'arribada dels dispositius digitals, si tenim una recta dibuixada i fem zoom cap a fora, la recta seguirà allí, per molt que ens allunyem. No podrem trobar ni el seu principi ni la seua final perquè, en realitat, una recta és infinita.

Infinitament xicotet

Però la idea d'infinit no és exclusiva del gran. En el xicotet també podem trobar-la. Tots sabem calcular la velocitat mitjana d'un mòbil (és a dir, un objecte que es mou): basta dividir l'espai recorregut entre el temps transcorregut. Però si volguérem calcular la velocitat en un sol instant determinat, com ho faríem? Quanta distància haurà recorregut l'objecte? O pitjor encara… quant temps haurà transcorregut?

Per a resoldre esta malifeta, recorrem, de nou, a l'infinit. Imaginem que un cotxe es mou al llarg d'una recta durant 10 segons i volem calcular la velocitat en el segon 2 exactament.

El primer que fem és calcular la velocitat en l'interval de temps d'entre 2 i 3 segons: espai recorregut dividit entre 1 segon. A continuació, reduïm l'interval a la mitat i calculem la velocitat entre 2 i 2,5 segons: espai recorregut entre mig segon. De nou, tornem a reduir l'interval a la mitat i calculem la velocitat entre 2 i 2,25 segons. I així successivament. Mitjançant este mètode iteratiu i sense fi (infinit) obtindríem la velocitat just als dos segons.

Este procés és el que coneixem com derivada i la seua troballa (bo, el del càlcul infinitesimal) va suposar un dels moments més brillants (i també més controvertits) de la ciència i les matemàtiques. Amb les derivades podem calcular taxes de variació instantànies. En un cert sentit, ens dona el superpoder de dividir entre zero, a l'estil Marvel (o DC, si eres un d'eixos). I amb les derivades –i les seues cosines germanes, les integrals– va arribar el boom de la ciència a través de les equacions diferencials. Però eixa és una altra historia…

Matemàtiques sense límits

Encara podem fer-nos més preguntes al fil del concepte del qual ens ocupa. La primera: és l'univers infinit? La física moderna no pot respondre-ho. No obstant això, l'univers observable (aquell la llum del qual ha tingut temps d'arribar fins nosaltres) sabem que té límits: és immens, però no infinit.

I és possible dividir la matèria tot el que vulguem? Tampoc: arriba un moment que ens topem amb partícules elementals com a bosons, quarks o leptons, que, hui dia, no es poden dividir més.

Llavors, existixen o no coses infinites? En la realitat física, no podem trobar ens verdaderament infinits, però les matemàtiques no tenen límits (acudit dolent). El límit està en la nostra imaginació i podem pensar en rectes o plans sense fi, en números que mai acaben o a dividir el temps tant com vulguem. És a dir, és la idea que ens permet raonar matemàticament quan ens trobem amb eixa mena de situacions.

L'infinit no és misteriós… És el lloc on dos rectes paral·leles acaben per trobar-se.

El museu interactiu Parc de les Ciències d'Andalusia i la seua Unitat de Cultura Científica i Innovació col·laboren en la secció The Conversation Júnior.

José Antonio Prado Bassas, Professor Titular d'Universitat en el Dpto. Anàlisi Matemàtica de la Universitat de Sevilla, Universitat de Sevilla

Este article va ser publicat originalment en The Conversation. Llija el original.